Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a₂=3，2S_n-（n+1）a_n=An+B（其中A、B是常数，n∈N^*）．
（1）求A、B的值；
（2）求证数列是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）已知k是正整数，不等式8a_n+1-a_n²＜k对n∈N^*都成立，求k的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根据已知条件a₁=1，a₂=3，2S_n-（n+1）a_n=An+B，取n=1和n=2，代入 得，即可求得
（2）首先将（1）求得的结果代入得2S_n-（n+1）a_n=-n+1（n∈N^*），则有2S_n+1-（n+2）a_n+1=-n，两式相差即可得na_n+1-（n+1）a_n=1，两边同除以n（n+1），可得出，进而得出通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*）．
（3）首先将（2）得出的公式代入8a_n+1-a_n²＜k，可得，进而得出k的最小值为32．
解答：解：（1）∵a₁=1，a₂=3，2S_n-（n+1）a_n=An+B（n∈N^*），
分别取n=1和n=2，得，
即，解得．（4分）

（2）由（1）知，2S_n-（n+1）a_n=-n+1（n∈N^*），
∴2S_n+1-（n+2）a_n+1=-n．，得2a_n+1-（n+2）a_n+1+（n+1）a_n=-1，即na_n+1-（n+1）a_n=1．
两边同除以n（n+1），可化为．
数列是以为首项，公差为零的等差数列，于是．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*）．（10分）

（3）由（2）知，a_n=2n-1（n∈N^*）．又8a_n+1-a_n²＜k，
即8（2n+1）-（2n-1）²＜k，进一步可化为．
当n=2或3时，-4的最大值为31，
因此，只要k＞31即满足要求，又k是正整数，
故所求k的最小值为32．（16分）
点评：此题主要利用数列的递推公式进行相关的应用及计算，属于中档题．