题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n之间满足关系S_n= $数学公式$ - $数学公式$
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+L+f（a_n），T_n= $数学公式$ ，求T₂₀₁₂
（III）若c_n=a_n•f（a_n），求{c_n}的前n项和a_n．

解：（I）n=1时，a₁=S₁= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ a₁，∴a₁= $\text{[math]}$ （1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，∴a_n= $\text{[math]}$ a_n-1，
即数列{a_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列（3分）
故a_n= $\text{[math]}$ （4分）
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=- $\text{[math]}$ （5分）
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）（6分）
∴T_n= $\text{[math]}$ =2[（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）]=-2（1- $\text{[math]}$ ）
∴T₂₀₁₂=- $\text{[math]}$ （8分）
（III）由题意：c_n=a_n•f（a_n）=-n× $\text{[math]}$ ，故{c_n}的前n项和u_n=-[1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +…+n× $\text{[math]}$ ]①
∴ $\text{[math]}$ u_n=-[1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +…+n× $\text{[math]}$ ]②
①-②可得： $\text{[math]}$ u_n=-[ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ -n× $\text{[math]}$ ]（12分）
∴ $\text{[math]}$ u_n=- $\text{[math]}$ [1- $\text{[math]}$ ]+n× $\text{[math]}$
∴u_n=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ n× $\text{[math]}$ （14分）
分析：（I）n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，由此可得数列{a_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，故可求数列{a_n}的通项公式；
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=- $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ），利用叠加法可求T₂₀₁₂的值；
（III）由题意：c_n=a_n•f（a_n）=-n× $\text{[math]}$ ，利用错位相减法可求{c_n}的前n项和．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，掌握求和的方法是关键．