Question

已知a∈R，函数f(x)=

1- 1 x ，        x＞0 (a-1)x+1，  x≤ 0

．
（1）求f（1）的值；    
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；     
（3）求函数f（x）的零点．

Answer 1

分析：（1）由函数解析式，令x=1求得f（1）的值．
（2）先在（0，+∞）上任取两变量，且界定大小，再作差变形看符号．
（3）要求函数f（x）的零点，即求方程f（x）=0的根，根据对实数的讨论即可求得结果．

解答：解：（1）当x＞0时，f(x)=1-

1

x

，
∴f(1)=1-

1

1

=0．…（2分）
（2）证明：在（0，+∞）上任取两个实数x₁，x₂，且

x

1

＜x2，…（3分）
则f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1

)-(1-

1

x2

)…（4分）
=

1

x2

-

1

x   1

=

x1-x2

x1x2

．…（5分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0．
∴

x1-x2

x1x2

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．…（7分）
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（8分）
（3）（ⅰ）当x＞0时，令f（x）=0，即1-

1

x

=0，解得x=1＞0．
∴x=1是函数f（x）的一个零点．…（9分）
（ⅱ）当x≤0时，令f（x）=0，即（a-1）x+1=0．（※）
当a＞1时，由（※）得x=

1

1-a

＜0，
∴x=

1

1-a

是函数f（x）的一个零点； 　　  …（11分）
当a=1时，方程（※）无解；
当a＜1时，由（※）得x=

1

1-a

＞0，（不合题意，舍去）．…（13分）
综上所述，当a＞1时，函数f（x）的零点是1和

1

1-a

；  当a≤1时，函数f（x）的零点是1．…（14分）

点评：本小题主要考查函数的性质、函数的零点等基本知识，考查运算求解能力和推理论证能力．