Question

（2013•济南一模）数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9．
（1）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设C_n=

bn+2

an+2

（n∈N^*），求证C_n+1＜C_n≤

1

3

．

Answer 1

分析：（1）①利用an=

a1，当n=1时 a2=2a1+1=3，当n=2时 Sn-Sn-1，当n≥3时

，及等比数列的通项公式即可得出a_n；②利用等差数列的通项公式即可得出b_n；
（2）由

n+1

3

＜n即可得到c_n+1＜c_n；利用二项式定理可得3ⁿ=（1+2）ⁿ≥3n，即可证明cn≤

1

3

．

解答：解：（1）①当n≥2时，由a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n．
由a₁=1，∴a₂=2a₁+1=3=3a₁．
∵a₁=1≠0，∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴an=1×3n-1．
②等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9．设公差为d，则

b1+2d=3 b1+4d=9

，解得

b1=-3 d=3

．
∴b_n=-3+（n-1）×3=3n-6．
（2）由（1）可得cn=

3(n+2)-6

3n+1

=

n

3n

．
∴cn+1=

n+1

3n+1

=

n+1 3

3n

＜

n

3n

=c_n．
∵3ⁿ=（1+2）ⁿ=n+

C

1 n

×2+…+2ⁿ≥3n，
∴cn=

n

3n

≤

1

3

．

点评：熟练掌握数列通项公式a_n与其前n项和S_n之间的关系、等差与等比数列的通项公式、不等式的基本性质、二项式定理是解题的关键．