Question

如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆的上顶点且△BF₁F₂的周长为4+2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在这样的直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F₂恰为△BMN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明由..

Answer 1

解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，∴①
∵△BF₁F₂的周长为4+2，∴②
由①②可得，
∴
∴椭圆的方程为；
（2）假设存在直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F₂恰为△BMN的垂心设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵B（0，1），F₂（，0），
∴k_MF2=﹣，∴k_MN=
设l的方程为y=，代入消元可得13x²+8mx+4（m²﹣1）=0
∴x₁+x₂=﹣，③
∵，，
∴==4x₁x₂+④
③代入④，可得4×﹣
∴（m﹣1）（5m+16）=0
∴m=1，或m=﹣
经检验，当m=1时直线l经过点B，不能构成三角形，故舍去
∴存在直线l：满足条件．