Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AD=BC，AB⊥AC，AB=AC=2，PA⊥平面ABCD，且E是BC中点，四面体P-BCA的体积为．
（I）求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求点D到平面PBA的距离；
（Ⅲ）棱PC上是否存在点F，使DF⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，由题设知，，由此能求出异面直线AE与PC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AD=BC，AB⊥AC，AB=AC=2，知，故，由平面PBA的法向量，能求出点D到平面PBA的距离．
（Ⅲ）设棱PC上是存在点F，使DF⊥AC时=t，由，知，由此能导出棱PC上是存在点F，使DF⊥AC，此时=3．
解答：解：（I）以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵四棱锥P-ABCD中，AB=AC=2，PA⊥平面ABCD，E是BC中点，
∴E（1，1，0），C（0，2，0），
∵四面体P-BCA的体积为，
∴，∴AP=4，∴P（0，0，4），
∴，，
设异面直线AE与PC所成角为α，
则cosα=|cos＜，＞|=||=||=．
（Ⅱ）∵底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AD=BC，AB⊥AC，AB=AC=2，
∴，=，
∴，∴，
∵平面PBA的法向量，
∴点D到平面PBA的距离d===．
（Ⅲ）设棱PC上是存在点F，使DF⊥AC时=t，
∵，∴，
∴=（）+（0，2t，-4t）=（），
∵，，
∴0+4t-3+0=0，t=，
∴=3．
故棱PC上是存在点F，使DF⊥AC，此时=3．
点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，点到平面的距离的计算，探索线段上点的存在性．综合性强，难度大，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．