题目内容
已知函数f(x)=x+
(x≠0，a∈R)
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）若a=1，证明：f（x）在区间[2，+∞）是增函数．
（3）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．
| a |
| x |
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）若a=1，证明：f（x）在区间[2，+∞）是增函数．
（3）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．
（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称
对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f(-x)=-x+
=-(x+
)=-f(x)
故f（x）为奇函数（5分）
（2）a=1，则f(x)=x+
任取2≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=(x1+
)-(x2+
)=
(x1x2-1)（8分）
∵2≤x1＜x2∴x1x2＞4，x1-x2＜0，（x1x2-1）＞0∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[2，+∞）是增函数（10分）
（3）任取2≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=(x1+
)-(x2+
)=
(x1x2-a)（12分）
要是函数f（x）在x∈[2，+∞）是增函数，必须使f（x1）-f（x2）＜0恒成立∵x1-x2＜0，x1x2＞4，
即a＜x1x2恒成立（14分）
又∵x1+x2＞4，x1x2＞4∴a的取值范围是（-∞，4]（16分）
对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f(-x)=-x+
| a |
| -x |
| a |
| x |
故f（x）为奇函数（5分）
（2）a=1，则f(x)=x+
| 1 |
| x |
任取2≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=(x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| (x1-x2) |
| x1x2 |
∵2≤x1＜x2∴x1x2＞4，x1-x2＜0，（x1x2-1）＞0∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[2，+∞）是增函数（10分）
（3）任取2≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=(x1+
| a |
| x1 |
| a |
| x2 |
| (x1-x2) |
| x1x2 |
要是函数f（x）在x∈[2，+∞）是增函数，必须使f（x1）-f（x2）＜0恒成立∵x1-x2＜0，x1x2＞4，
即a＜x1x2恒成立（14分）
又∵x1+x2＞4，x1x2＞4∴a的取值范围是（-∞，4]（16分）
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