Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O₁为BD的中点，O₂为BC₁的中点，O₃为DC₁的中点，求证：A₁C⊥平面O₁O₂O₃.?

Answer 1

证明：不妨设正方体的棱长为1个单位长度，且设DA=i, DC=j, DD₁=k.以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz,则

C(0,1,0),A₁(1,0,1),O₁(,,0),O₂(,1, ),O₃(0, ,)，=(-1,1,-1), =(0, ,),=(-,0, ).?

∴·=-1×0+1×+(-1)×=0,

·=-1×(-)+1×0+(-1)·=0.

∴⊥且A₁C⊥.

∴A₁C⊥O₁O₂且A₁C⊥O₁O₃.

又∵O₁O₂∩O₁O₃=O₁,

∴A₁C⊥平面O₁O₂O₃.

温馨提示：用向量坐标运算证明线线或线面垂直是向量的一个重要应用，要熟练掌握.关键是建系，求点的坐标，其中建系的恰当与否决定解题的繁简程度.