Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-m2x(m＞0).
（Ⅰ）当f（x）在x=1处取得极值时，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当f（x）的极大值不小于

2

3

时，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为f（x）在x=1时取极值，先求出f′（x）令其等于0求出驻点得到m的值即可；
（Ⅱ）利用导数求出函数的极值根据极大值不小于

2

3

列出不等式取出m的取值即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-m²，
由已知得f′（1）=1-m²=0（m＞0），∴m=1
∴f(x)=

1

3

x3-x
（Ⅱ）f′（x）=x²-m²，令f′（x）=0，x=±m．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

∴y_极大值=f(-m)=-

m3

3

+m3≥

2

3

，∴m³≥1，∴m≥1
故m的取值范围是[1，+∞）．

点评：考查学生利用导数求函数极值的能力．