Question

若方程

3

sinx+cosx=a在[0.2π]上有两个不同的实数解，则a的取值范围是（　　）

A．a∈（-2，0）∪（1，2）

B．a∈（-2，2）

C．a∈（-2，1）∪（1，2）

D．a∈（-2，1）

Answer 1

分析：已知方程

3

sinx+cosx=a在[0.2π]上有两个不同的实数解，可以将方程转化为：sin（x+

π

6

）=

a

2

，可以令f（x）=sin（x+

π

6

），h（x）=

a

2

，画出这两个函数的图象，利用数形结合的方法进行求解；

解答：解：∵方程

3

sinx+cosx=a，
∴2sinx（x+

π

6

）=a，即sinx（x+

π

6

）=

a

2

，
可以令f（x）=sinx（x+

π

6

），h（x）=

a

2

，
∵方程

3

sinx+cosx=a在[0.2π]上有两个不同的实数解，
∴函数f（x）和h（x）的图象有两个交点，
如下图：

∴

π

6

≤x+

π

6

≤2π+

π

6

∴h（x）=

a

2

，要使f（x）与h（x）有两个交点，
∴h（x）在直线m与n和直线n与l之间，有两个交点，
∴

1

2

＜

a

2

＜1或-1＜

a

2

＜

1

2

，
∴1＜a＜2或-2＜a＜1；
故选C；

点评：本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，数形结合的思想得到了很好的体现．