Question

记公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝2＋，S₃＝12＋3．

(1)求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；

(2)记b_n＝a_n－，若自然数n₁，n₂，…，n_k，…满足1≤n₁＜n₂＜…＜n_k＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n₁＝1，n₂＝3，求n_k(用k表示)；

(3)试问：在数列{a_n}中是否存在三项a_r，a_s，a_t(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为a1＝2＋，S3＝3a1＋3d＝12＋3，所以d＝2　　2分 　　所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋　　3分 　　Sn＝＝n2＋(＋1)n　　5分 　　(2)因为bn＝an－＝2n，所以＝2nk　　7分 　　又因为数列{}的首项＝，公比，所以　　9分 　　所以2nk，即nk　　10分 　　(3)假设存在三项ar，as，at成等比数列，则， 　　即有，整理得　　12分 　　若，则，因为r，s，t∈N*，所以是有理数，这与为无理数矛盾　　14分 　　若，则，从而可得r＝s＝t，这与r＜s＜t矛盾． 综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at　　16分