Question

如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限．则2000在表中出现

4

次．

Answer 1

分析：由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为2^n-1，记第n行的第m个数为f（n，m），则f（n，1）=f（n-1，1）+f（n-1，2）依此类推算得f（n，1）=（n+1）•2^n-2从而得到f（n，m）=f（n，1）+（m-1）•2^n-1最后令2^n-2（2m+n-1）=2000=2⁴×5³，验证当n=1，3，5，6时符合，最后得出答案．

解答：解：由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为2^n-1，
记第n行的第m个数为f（n，m），则f（n，1）=f（n-1，1）+f（n-1，2）
=2f(n-1，1)+2n-2⇒

f(n，1)

2n

=

f(n-1，1)

2n-1

+

1

4

算得f（n，1）=（n+1）•2^n-2
⇒f（n，m）=f（n，1）+（m-1）•2^n-1
=2^n-2（2m+n-1）（n∈N₊）
令2^n-2（2m+n-1）=2000=2⁴×5³，
验证当n=1，3，5，6时符合．
则2000在表中出现 4次．
故答案为4．

点评：本小题主要考查归纳推理、等差数列、数列的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．