Question

已知各项均为正数的两个无穷数列{a_n}、{b_n}满足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）当数列{a_n}是常数列（各项都相等的数列），且b₁=时，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{a_n}、{b_n}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{a_n}有无穷多个，而数列{b_n}惟一确定；
（Ⅲ）设a_n+1=，S_n=，求证：2＜＜6．

Answer 1

【答案】分析：（I）设a_n=a＞0，利用数列{a_n}、{b_n}满足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*），可得b_n+1+b_n=2n，（n∈N^*），于是当n≥2时，b_n+b_n-1=2（n-1）．于是b_n+1-b_n-1=2．可知：数列{b_n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）设{a_n}、{b_n}公差分别为d₁、d₂，可得其通项公式，代入a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．可得[a₁+（n-1）d₁][b₁+nd₂]+（a₁+nd₁）[b₁+（n-1）d₂]=2n（a₁+nd₁），对于任意n恒成立，可得，解出即可；
（III）利用，可得a_n+1-a_n=-a_n=，于是a_n＜a_n+1．利用a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1＜a_n+1b_n+1+a_n+1b_n，可得2n＜b_n+1+b_n．又a_nb_n+1=（2n-b_n）•a_n+1＞0，a_n+1＞0，可得2n-b_n＞0．可得，进而得出．
解答：（I）解：设a_n=a＞0，∵数列{a_n}、{b_n}满足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*），
∴b_n+1+b_n=2n，（n∈N^*），于是当n≥2时，b_n+b_n-1=2（n-1）．
∴b_n+1-b_n-1=2．
∴可知：数列{b_n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，
又，b₁+b₂=2，可得．
∴=，=，
即（n∈N^*）．
（2）证明：设{a_n}、{b_n}公差分别为d₁、d₂，
则a_n=a₁+（n-1）d，b_n=b₁+（n-1）d₂，
代入a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．
可得[a₁+（n-1）d₁][b₁+nd₂]+（a₁+nd₁）[b₁+（n-1）d₂]=2n（a₁+nd₁），对于任意n恒成立，
可得，解得，
可得a_n=na₁，b_n=n．
∴只有取a₁＞0可得数列{a_n}有无穷多个，而数列{b_n}惟一确定；
（3）证明：∵，
∴a_n+1-a_n=-a_n=，
∴a_n＜a_n+1．
∴a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1＜a_n+1b_n+1+a_n+1b_n，可得2n＜b_n+1+b_n．
因此=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）＞2[1+3+…+（2n-1）]=2n²．
又a_nb_n+1=（2n-b_n）•a_n+1＞0，a_n+1＞0，
∴2n-b_n＞0．
∴=2n（1+2n）=4n²+2n，
∴，
∴．
点评：熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、放缩法等是解题的关键．