Question

如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.

(1)求证：AB⊥平面PCB；

（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；

（3）求二面角C—PA—B的大小.

Answer 1

(1)证明：∵PC⊥平面ABC，AB 面ABC，?

∴PC⊥AB.?

∵CD⊥平面PAB，AB 平面PAB，∴CD⊥AB.?

又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB.

(2)解：由（1）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2,

又∵AB=BC,可求得BC=.以B为原点，如图建立坐标系.则A（0，，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）. =(,-,2), =(,0,0).则·=×+0+0=2.cos〈,〉===.

∴异面直线AP与BC所成的角为.

(3)解：设平面PAB的法向量为m=（x,y,z）.=(0,-,0), =(,-,2),则即解得令z=-1,得m=(,0,-1).设平面PAC的法向量为

n=(x′,y′,z′).=(0,0,-2),=(,-,0),则即解得令x′=1,得n=(1,1,0).cos〈m,n〉===.

∴二面角C—PA—B的大小为arccos.