Question

在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，-

3

)和F2(0，

3

)为焦点、离心率为

3

2

的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量

OM

=

OA

+

OB

．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ）|

OM

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x₀，y₀），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x₀，y₀满足C的方程即可求得；
（2）先将|

OM

|用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．

解答：解：（I）椭圆方程可写为：

y2

a2

+

x2

b2

=1式中a＞b＞0，且

a2-b2=3 3 a = 3 2

得a²=4，b²=1，
所以曲线C的方程为：x²+

y2

4

=1（x＞0，y＞0）．y=2

1-x2

（0＜x＜1）y'=-

2x

1-x2

设P（x₀，y₀），因P在C上，有0＜x₀＜1，y₀=2

1- x 2 0

，y'|_x=x0=-

4x0

y0

，得切线AB的方程为：
y=-

4x0

y0

（x-x₀）+y₀．
设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=

1

x0

，y=

4

y0

．
由

OM

=

OA

+

OB

得M的坐标为（x，y），由x₀，y₀满足C的方程，得点M的轨迹方程为：

1

x2

+

4

y2

=1（x＞1，y＞2）
（Ⅱ）|

OM

|²=x²+y²，y²=

4

1- 1 x2

=4+

4

x2-1

，
∴|

OM

|²=x²-1+

4

x2-1

+5≥4+5=9．
且当x²-1=

4

x2-1

，即x=

3

＞1时，上式取等号．
故|

OM

|的最小值为3．

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．