Question

（2009•湖北模拟）数列{an}中，a1=1，an+1=

1

2

a

2 n

-an+2(n=1，2，3，…)．
（1）求证：①a_n＜a_n+1；②1≤a_n＜2；（2）比较

n

k=1

1

ak

与

40

39

an+1的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）①欲比较a_n与a_n+1的大小，利用作差比较，然后进配方可判定正负；②直接利用数学归纳法进行证明即可；
（2）由a_n+1=

1

2

a

2 n

-an+2，an(an+1-an)=(an-2)(an+1-2)，从而

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，从而求出

n

k=1

1

ak

的值，然后利用作差比较

n

k=1

1

ak

与

40

39

an+1的大小即可．

解答：解：（1）证明：①因为a_n+1-a_n=

1

2

a

2 n

-2an+2=

1

2

(an-2)2≥0，
当且仅当a_n=2时，a_n+1=a_n．
因为a₁=1，所以a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1（n=1，2，3，…）．…（3分）
②因为，由①得a_n≥1（n∈N^*）．（i）
下面证明：对于任意n∈N^*，有a_n＜2成立．当n=1时，由a₁=1，显然结论成立．
假设结论对n=k（k≥1）时成立，即a_k＜2．
因为a_n+1=

1

2

a

n 2

-an+2=

1

2

(an-1)2+

3

2

，y=

1

2

(x-1)2+

3

2

在x≥1时单调递增，
所以a_k+1＜

1

2

(2-1)2+

3

2

=2．
即当n=k+1时，结论也成立．
于是，当n∈N^*时，有a_n＜2成立．（ii）
根据（i）、（ii）得1≤a_n＜2．…（9分）
（2）由a_n+1=

1

2

a

2 n

-an+2，an(an+1-an)=(an-2)(an+1-2)，
从而

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

．
因为a₁=1，所以

n

k=1

1

ak

=

n

k=1

(

1

ak-2

-

1

ak+1-2

)=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

2-an+1

-1．…（11分）
所以

n

k=1

1

ak

-

40

39

an+1=

1

2-an+1

-1-

40

39

an+1=

40 a 2 n+1 -41an+1-39

39•(2-an+1)

=

(5an+1+3)(8an+1-13)

39•(2-an+1)

．
由a₁=1及a_n+1=

1

2

a

n 2

-an+2，a2=

3

2

，a3=

13

8

．
所以，当n=1时，

1

a1

＜

40

39

a2；当n=2时，

1

a1

+

1

a2

=

40

39

a3；
当n≥3时，由

13

8

＜an+1＜2，得

n

k=1

1

ak

-

40

39

an+1=

(5an+1+3)(8an+1-13)

39•(2-an+1)

＞0
⇒

n

k=1

1

ak

＞

40

39

an+1．…（14分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及利用作差法比较大小，同时考查了计算能力，属于中档题．