题目内容
【题目】已知在四棱锥
中，
，
，
是
的中点，
是等边三角形，平面
平面
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）取
的中点为
，连结
，
，
，设交
于
，连结
.证明
，
，即可证
平面
；（2）取
的中点为
，以为空间坐标原点，分别以
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
.设
，利用向量法求二面角
的余弦值.
（1）证明：取的中点为，连结，，，设交于，连结.
因为
，
，
四边形
与四边形
均为菱形，
，
，
，
因为
为等边三角形，为中点，
，
因为平面
平面
，且平面
平面
.
平面
且
，
平面
因为
平面，
，
因为H，
分别为， 
的中点，
，
.
又因为
，
平面，
平面.
（2）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则
，
，
，
，
，
，
设平面
的一法向量
.
由
.令
，则
.
由（1）可知，平面
的一个法向量
，
二面角的平面角的余弦值为.
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