某厂家拟在2006年举行促销活动.经调查测算.该产品的年销售量x万件与年促销费用m万元满足x＝3.如果不搞促销活动.则该产品的年销售量只能是1万件．已知2006年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．

(1)将2006年该产品的利润(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数；

(2)该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

答案：
解析：

　　解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，

　　∴1＝3－k，即k＝2．

　　∴x＝．

　　由题意，得每件产品的销售价格为1.5×(元)，则2006年的利润

　　y＝x[1.5×]－(8＋16x＋m)

　　＝4＋8x－m

　　＝4＋8(3)－m

　　＝－m＋28(m≥0)，

　　即y＝－m＋28(m≥0)．

　　(2)下面证明当0≤m≤3时，函数y＝－m＋28是增函数．

　　设0≤m₁＜m₂≤3，则

　　y₁－y₂＝(－m₁＋28)－(－m₂＋28)

　　＝()＋(m₂－m₁)

　　＝＋(m₂－m₁)

　　＝(m₁－m₂)[－1]，

　　∵0≤m₁＜m₂≤3，∴m₁－m₂＜0，0＜(m₂＋1)(m₁＋1)＜16．

　　∴＞1．

　　∴－1＞0．

　　∴y₁＜y₂．

　　∴当0≤m≤3时，函数y＝－m＋28是增函数．

　　同理可证，当m＞3时，函数y＝－m＋28是减函数．

　　则当m＝3(万元)时，y_min＝21(万元)．

　　∴该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．

提示：

　　(1)本题含有多个计算公式：年利润＝年销售收入－总成本；年销售收入＝年销售量×销售价格；总成本＝产品成本＋促销费用；销售价格＝1.5×每件产品年平均成本；产品成本＝固定投入＋再投入；每件产品年平均成本＝产品成本/年销售量．

　　(2)转化为求函数y＝f(m)的最大值．

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（1）将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).

(1)将2006年该产品的利润(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数；

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(1)将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

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