Question

已知函数f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间上的最小值与最大值．
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移个单位，再沿y轴负方向平移2个单位得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）将函数的表达式展开，得f（x）=2cos²x-2cosxsinx+1，再用三角函数的降幂公式和辅助角公式，得到f（x）=2+sin（2x+），最后可用周期的公式求出函数的最小正周期；
（2）区间上，π≤2x+≤，从而得出sin（2x+），最后得出函数f（x）在区间上的最大值为3，最小值为；
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移个单位，得到y=f（x-）的图象，再沿y轴负方向平移2个单位得到y=f（x-）-2的图象，说明g（x）=f（x-）-2，代入（1）的表达式即可．
解答：解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos²x-2cosxsinx+1
=（2分）
因此，函数f（x）的最小正周期为π（4分）
（2）因为
在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
又（8分）
所以，函数f（x）在区间上的最大值为3，最小值为（10分）
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移个单位得（12分）
再沿y轴负方向平移2个单位得，
所以（14分）
点评：本题着重考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．对三角函数公式的记忆要求较高，同时还考查了函数图象的平移的规律，是一道不错的典型题．