Question

顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y=x+1截得的弦长是

10

，则抛物线的方程是（　　）

• A、y²=-x或y²=5x
• B、y²=-x
• C、y²=x或y2=-5x
• D、y²=5x

Answer 1

分析：设抛物线方程为y²=2px，直线y=x+1与抛物线交于点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂），把y=x+1代入y²=2px，得x²+（2-2p）x+1=0，由韦达定理得x₁+x₂=2p-2，x₁x₂=1，由弦长公式得|AB|=

(1+1)[(2p-2)2-4]

=

10

，由此求出p的值，从而得到抛物线的方程．

解答：解：设抛物线方程为y²=2px，直线y=x+1与抛物线交于点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂），
则根据题意，|AB|=

10

，
把y=x+1代入y²=2px，得（x+1）²=2px，
整理得x²+（2-2p）x+1=0，
由韦达定理得x₁+x₂=2p-2，x₁x₂=1，
由弦长公式得|AB|=

(1+1)[(2p-2)2-4]

=

10

，
解得p=

5

2

或者p=-

1

2

，
所以抛物线方程为y²=-x或y²=5x．
故选A．

点评：本题考查抛线的标准方程，解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用．