Question

在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m），（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比数列，求

PA

•

PB

的范围；
（3）已知定点Q（-4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断

QM

•

QN

×tan∠MQN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由．

Answer 1

分析：（1）依题意可知直线过定点，要求使圆O的面积最小，则定点在圆上，求出半径即可求圆的方程．
（2）求出A、B两点的坐标，设P的坐标，|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比数列，得到相等关系式，P在圆内，得到不等式，可求数量积的范围．
（3）依题意表示

QM

•

QN

×tan∠MQN，得到等价关系即三角形面积，容易确定圆上的点到已知线段的最大距离．可求出直线l的方程．

解答：解：（1）因为直线l：y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，
所以圆O的方程为x²+y²=25．
（2）A（-5，0），B（5，0），设P（x₀，y₀），则x₀²+y₀²＜25   ①

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)，
由|

PA

|，|

PO

|，|

PB

|成等比数列得，|

PO

|2=|

PA

|•|

PB

|，
即

x

2 0

+

y

2 0

=

(x0+5)2+ y 2 0

•

(x0-5)2+ y 2 0

，整理得：

x

2 0

-

y

2 0

=

25

2

，即

x

2 0

=

25

2

+

y

2 0

②
由①②得：0≤

y

2 0

＜

25

4

，

PA

•

PB

=(

x

2 0

-25)+

y

2 0

=2

y

2 0

-

25

2

，∴

PA

•

PB

∈[-

25

2

，0)
（3）

QM

•

QN

×tan∠MQN=|

QM

|•|

QN

|cos∠MQN×tan∠MQN
=|

QM

|•|

QN

|sin∠MQN=2S△MQN．
由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），
直线l_MQ：y=3，|MQ|=8，则当N（0，-5）时S_△MQN有最大值32．
即

QM

•

QN

×tan∠MQN有最大值为64，
此时直线l的方程为2x-y-5=0．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，向量的数量积，等比数列，直线系等知识，考查等价转化、数形结合的数学思想．是难度较大的题目．