Question

已知函数，.

（1）如果函数在上是单调减函数，求的取值范围；

（2）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

试题分析：解：（1）当时，在上是单调增函数，不符合题意．…1分

当时，的对称轴方程为，由于在上是单调增函数，不符合题意．

当时，函数在上是单调减函数， 则，解得，

综上，的取值范围是．             4分

（2）把方程整理为，

即为方程.                 5分

设 ，原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点.   ……6分

 7分

令，因为，解得或（舍）   8分

当时, , 是减函数；

当时, ，是增函数.……10分

在()内有且只有两个不相等的零点, 只需 13分

即 ∴

解得, 所以的取值范围是() ． 14分

考点：导数的应用

点评：解决的关键是通过导数的符号判定函数但典型，进而来解决方程根的问题，以及函数单调性的应用，属于基础题。