Question

已知函数f(x)=(x≠-1).设数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=f(a_n),数列{b_n}满足b_n=|a_n|,S_n=b₁+b₂+…+b_n(n∈N^*).

(1)用数学归纳法证明b_n≤;

(2)证明S_n＜.

Answer 1

思路分析:本题考查数列、等比数列、不等式等基础知识及运用数学归纳法解决有关问题的能力.

证明:(1)当x≥0时,f(x)=1+＞1.

∵a₁=1,∴a_n≥1(n∈N^*).

下面用数学归纳法证明不等式b_n≤.

①当n=1时,b₁=-1,不等式成立.

②假设当n=k时,不等式成立,即b_k≤,

那么b_k+1=|a_k+1-|=

所以当n=k+1时,不等式也成立.

根据①②可知不等式对任意n∈N^*都成立.

(2)由(1)知b_n≤.

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n≤(-1)+

.

故对任意n∈N^*,S_n＜.