Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx+2sin2x-1，x∈R．
（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，再把所得到的图象向左平移

π

6

个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-

π

6

，

π

12

]上的值域．

Answer 1

（I）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∴函数f（x）的最小正周期为T=π；
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

6

+kπ≤≤

π

3

+kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（II）函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，
得到y=2sin（4x-

π

6

），
再把所得的图象向左平移

π

6

个单位得到g（x）=2cos4x，
当x∈[-

π

6

，

π

12

]时，4x∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴当x=0时，g（x）_max=2；当x=-

π

6

时，g（x）_min=-1，
∴y=g（x）在区间[-

π

6

，

π

12

]上的值域为[-1，2]．