Question

已知可导函数f（x）为定义域上的奇函数，f（1）=1，f（2）=2．当x＞0时，有3f（x）-x•f'（x）＞1，则f（-

3

2

）的取值范围为（　　）

• A．（

  27

  32

  ，

  27

  8

  ）
• B．（-

  27

  8

  ，-

  27

  32

  ）
• C．（-8，-1）
• D．（4，8）

Answer 1

分析：为了得到3f（x）-x•f'（x）的原函数，构造函数g（x）=

x3

f(x)

，g'（x）=

x2[3f(x)-xf′(x)]

f2(x)

＞

x2

f2(x)

＞0，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，因此g（1）＜g（

3

2

）＜g（2），从而得到f（

3

2

）的范围，f（x）又是奇函数，那么f（-

3

2

）的取值范围自然就得出来了．

解答：解：令g（x）=

x3

f(x)

，
当x＞0时，g'（x）=

x2[3f(x)-xf′(x)]

f2(x)

＞

x2

f2(x)

＞0，所以g（x）在x＞0上单调增；
g（1）=

13

f(1)

=1，g（2）=

23

f(2)

=4，
∵1＜

3

2

＜2，∴g（1）＜g（

3

2

）＜g（2），即1＜g（

3

2

）＜4．
所以，1＜

( 3 2 )3

f( 3 2 )

＜4，∴

27

32

＜f（

3

2

）＜

27

8

．
因为f（x）是奇函数，所以f（-

3

2

）=-f（

3

2

），f（

3

2

）=-f（-

3

2

），代入上式得：

27

32

＜-f（-

3

2

）＜

27

8

．
所以：f（-

3

2

）∈（-

27

8

，-

27

32

）
故选B．

点评：本题主要考查导数的运算和奇偶性与单调性的综合，解答的关键是构造函数g（x）=

x3

f(x)

，利用导数研究其单调性．属于难题．