Question

 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点在直线上.数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*),且b₃=11,前9项和为153.

(1)求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

（2）设c_n=3(2a_n-11)(2b_n-1),数列{c_n}的前n项和为T_n,求使不等式T_n>对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值.

Answer 1

解（1）由已知得：，所以S_n=.

当n≥2时，

a_n=S_n-S_n-1==n+5,

当n=1时，a₁=S₁=6也符合上式.

所以a_n=n+5(n∈N^*).

由b_n+2-2b_n+1+b_n=0(n∈N^*)知{b_n}是等差数列.

由{b_n}的前9项和为153，可得：，

求得b₅=17,又b₃=11,

所以{b_n}的公差,首项b₁=5,所以b_n=3n+2.

(2)

所以

因为n增大，T_n增大，所以{T_n}是递增数列，

所以T_n≥T₁=.

T_n>对一切n∈N^*都成立，只要T₁=>,

所以k<19,则k_max=18.

即使不等式T_n>对一切n∈N^*都成立的最大正整数为18.