Question

5．给出下列四个命题：
（1）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；
（2）双曲线$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{35}$+y²=1有相同的焦点；
（3）点M与点F（0，-2）的距离比它到直线l：y-3=0的距离小1的轨迹方程是x²=-8y；
（4）方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F₁、F₂，D是它短轴的一个顶点．若2$\overrightarrow{D{F}_{1}}$-$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{D{F}_{2}}$，则该椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$．
其中正确命题的序号（2），（3），（4）．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义可判断；
（2）根据圆锥曲线焦点的公式可判断；
（3）利用第二定义或设点列方程的方法求曲线方程都可以；
（4）利用向量的坐标运算可得出-2c=a+c．

解答 解：（1）若点M到F₁，F₂的距离之和恰好为F₁，F₂两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，故错误；
（2）根据定义可知，双曲线$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{35}$+y²=1中c²=34，且在x轴上，故有相同的焦点，故正确；
（3）法1：点M与点F（0，-2）的距离比它到直线l：y-3=0的距离小1，
∵点M到点F（0，-2）的距离比它到直线l：y-3=0的距离小1，
设M（x，y），依题意得
∴由两点间的距离公式，得
$\sqrt{（x-0）^{2}+（y+2）^{2}}$=|y-3|-1，
根据平面几何原理，得y＜3，原方程化为=2-y
两边平方，得x²+（y+2）²=（2-y）²，整理得x²=-8y
即点M的轨迹方程是x²=-8y，故正确．
法2：也可根据第二定义可知点M与点F（0，-2）的距离与它到直线l：y-2=0的距离相等，可得焦准距为8，
可得x²=-8y．
（4）方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F₁、F₂，D是它短轴的一个顶点．
∴D（0，b），A（a，0），F₁（-c，0）F₂（c，0），
2$\overrightarrow{D{F}_{1}}$-$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{D{F}_{2}}$，
∴2（-c，-b）=（c，-b）+（a，-b），
∴-2c=a+c，
∴该椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，故正确．
故答案为（2），（3），（4）．

点评 考查了圆锥曲线的定义和向量的坐标运算，属于基础题型，应熟练掌握．