Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，求a的值；
（2）在（1）的条件下，对任意t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）总存在极值，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）点（2，f（2））处的切线的斜率为1，即f′（2）=1，可求a值，
（2）在（1）的条件下，得到a的值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，可知：

g′(1)＜0  g′(2)＜0  g′(3)＞0

，于是可求m的范围．

解答：解：（1）由于函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，
则f′(2)=-

a

2

=1，解得a=-2，
则a的值为-2；
（2）由（1）知，f（x）=-2lnx+2x-3，
∴函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]=x3+(

m

2

+2-

2

x

)x2，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0  g′(2)＜0  g′(3)＞0

，∴-

37

3

＜m＜-9．
∴当m∈（-

37

3

，-9）内取值时对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）总存在极值．

点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，以及已知函数曲线上一点求曲线的切线方程，考查求导公式的掌握情况，含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．