Question

如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A—BD—C、A—BC—D、B—AC—D的大小.

Answer 1

解析:

(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，

∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD.

∴∠AOC是二面角A—BD—C的平面角

又AO＝OC＝1，AC＝，∴∠AOC＝90°.即二面角A—BD—C为直二面角.

(2)∵二面角A—BD—C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD.

∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.

∵S_ΔOCB＝,S_ΔABC＝,∴cosθ＝.即二面角A—BC—D的大小是arccos.

(3)取AC的中点E，连BE、DE.∵AB＝BC，AD＝DC，

∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角.

在ΔBDE中，BE＝DE＝，由余弦定理，得cosα＝-

∴二面角B—AC—D的大小是π-arccos.

评析  本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得.