Question

（2012•广元三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（I）求角B的大小；
（II）设向量

m

=（sinA，cos2A），

n

=（2cosA，1），f（A）=

m

•

n

，求f（A）取得最大值和最小值时A的值．

Answer 1

分析：（I）先利用正弦定理将（2a-c）cosB=bcosC中的边化为角，再利用两角和的正弦公式将三角函数式化简即可得cosB=

1

2

，从而由角B的范围得B值
（II）先利用向量数量积运算性质，求得函数f（A）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，利用角A的范围，求得f（A）取得最大值和最小值时A的值

解答：解：（I）由正弦定理得；（2a-c）cosB=bcosC?（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
?2sinAcosB=sin（B+C）=sinA
∴cosB=

1

2

，又B∈（0，π）
∴B=

π

3

（II）f（A）=

m

•

n

=2sinAcosA+cos2A=sin2A+cos2A=

2

sin（2A+

π

4

）
由（I）知，0＜A＜

2π

3

，∴

π

4

＜2A+

π

4

＜

19π

12

∴2A+

π

4

=

π

2

即A=

π

8

时，f（A）取最大值

2

2A+

π

4

=

3π

2

即A=

5π

8

时，f（A）取最小值-

2

点评：本题主要考查了正弦定理得应用，利用三角变换公式化简和求值的能力，y=Asin（ωx+φ）型函数的性质应用，属中档题