Question

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|，
（1）求不等式f（x）≤6的解集．
（2）若关于x的不等式f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）讨论2x-3和2x+1的正负化简绝对值代入到f（x）≤6中，求出并集即可；
（2）讨论x的值得到f（x）的分段函数解析式，求出f（x）的最小值大于a即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）①当x≥

3

2

时，解得x≤2，所以

3

2

≤x≤2；
②当x≤-

1

2

时，解得x≥-1，所以-1≤x≤-

1

2

；
③当-

1

2

≤x≤

3

2

时，解得x∈R，所以-

1

2

≤x≤

3

2

；
综上：不等式的解集为x|-1≤x≤2．
（2）因为f（x）=

4x-2，x≥ 3 2 2-4x，x≤- 1 2 4，- 1 2 ＜x＜ 3 2

所以，要使关于x的不等式f（x）＞a恒成立，
即求出f（x）的最小值为4，
于是a＜4．

点评：考查学生理解函数恒成立时所取的条件，以及会分情况讨论求出绝对值不等式的解集．