Question

已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₁=25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2．

Answer 1

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，

a

2 11

=a1a13，再利用等差数列的通项公式可得(a1+10d)2=a1(a1+12d)，化为d（2a₁+25d）=0，解出d即可得到通项公式a_n；
（II）由（I）可得a_3n-2=-2（3n-2）+27=-6n+31，可知此数列是以25为首项，-6为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
由题意a₁，a₁₁，a₁₃成等比数列，∴

a

2 11

=a1a13，
∴(a1+10d)2=a1(a1+12d)，化为d（2a₁+25d）=0，
∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=-2．
∴a_n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27．
（II）由（I）可得a_3n-2=-2（3n-2）+27=-6n+31，可知此数列是以25为首项，-6为公差的等差数列．
∴S_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2=

n(a1+a3n-2)

2

=

n(25-6n+31)

2

=-3n²+28n．

点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键．