Question

数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+p（p∈R），数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，若{a_n}是等比数列，
（1）求p的值及通项a_n；
（2）求和T_n=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²…+（-1）^n-1（b_n）²（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用“和”与“项”之间的递推公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2）先求a_n（n≥2），再由a₁=s₁=2+p的值代入通项可求p
（2）由（1）可得b_n=n-1，利用平方差公式可得b_n²-b_n-1²=（b_n+b_n-1）•（b_n-b_n-1）而b_n-b_n-1=1，代入可求和

解答：解：（1）∵s_n=2ⁿ+p∴s_n-1=2^n-1+p（n≥2）
∴a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）
∵数列a_n为等比数列
从而a₁=2⁰=2¹+p
∴p=-1
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n-1，b_n-b_n-1=1
当n为偶数时，T_n=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²…+（-1）^n-1（b_n）^{2
=（b₁+b₂）•（b₁-b₂）+（b₃+b₄）•（b₃-b₄）+…+（b_n-1-b_n）•（b_n-1+b_n）}
=-1×（b₁+b₂+b₃+…+b_n）
=

n(1-n)

2

当n为奇数时，T_n=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²…+（-1）^n-1（b_n）²
=（b₁+b₂）•（b₁-b₂）+（b₃+b₄）•（b₃-b₄）+…+（b_n-2+b_n-1）•（b_n-2-b_n-1）+（b_n）²
=-1×（b₁+b₂+b₃+…+b_n-1）+（n-1）²
=

n(n-1)

2

综上可得，Tn=(-1)n-1

n(n-1)

2

点评：（1）利用an=

s1 n=1 sn-sn-1 n≥2

可进行“项”与“和”之间的转化灵活运用此公式，使得问题能够向有利于解题的方向发展．最后要对n=1和n＞1的通项进行整合，使a₁适合通项是解p的关键
（2）解题的关键是要抓住b_n²-b_n-1²=（b_n-b_n-1）•（b_n+b_n-1）=b_n+b_n-1，从而转化为等差数列的求和问题，但由于有正负的变化，所以需对n的奇偶性进行讨论，体现了数学中的分类讨论及转化思想在解题中的应用．