Question

设函数f(α)=sinα+

3

cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π
（I）若P点的坐标为(-

3

，1)，求f（α）的值；
（II）若点P（x，y）为平面区域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（α）的值域．

Answer 1

分析：（I）由三角函数的定义，算出sinα、cosα的值，即可求出f（α）的值；
（II）作出题中不等式组表示的平面区域，将点P在区域内运动可得α∈[

π

4

，

π

2

]．根据辅助角公式，化简得f（α）=2sin(α+

π

3

)，再利用正弦函数的图象与性质加以计算，即可得到函数f（α）的值域．

解答：解：（I）∵P点的坐标为(-

3

，1)，
∴|OP|=

3+1

=2，得sinα=

1

2

，cosα=

- 3

2

=-

3

2

因此，f(α)=sinα+

3

cosα=

1

2

+

3

•(-

3

2

)=-1；
（II）作出不等式

x+y≥1 y≥x y≤1

表示的平面区域，
得到如图所示的△ABC及其内部．
其中A（0，1），B（

1

2

，

1

2

），C（1，1）．
∵点P（x，y）为平面区域内的一个动点，∴α∈[

π

4

，

π

2

]．
f(α)=sinα+

3

cosα=2sin(α+

π

3

)，
∵α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]，
∴当α=

π

4

时，f（α）=2sin

7π

12

=

2 + 6

2

达到最大值；当α=

π

2

时，f（α）=2sin

5π

6

=1达到最小值．
由此可得函数f（α）的值域为[1，

2 + 6

2

]．

点评：本题给出点P是角α终边上一点，求f(α)=sinα+

3

cosα的值域．着重考查了三角函数的定义、三角函数的图象与性质和函数值域求法等知识，属于中档题．