题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)和两点A（4，1），B（3，2），且椭圆右焦点与上顶点的连线平行于AB．
（Ⅰ）若椭圆经过A点，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C与线段AB有公共点，求实数a的取值范围．
分析：（Ⅰ）利用椭圆右焦点与上顶点的连线平行于AB，可得b=c，进而a2=b2+c2=2b2，利用椭圆经过A点，可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）利用两点式求线段AB所在直线方程与椭圆方程联立，根据椭圆C与线段AB有公共点，可得方程在x∈[3，4]上有解，构建函数g（x），转化为只需a2在函数g（x）的值域之内，从而可得结论．
解答：解：（Ⅰ）kAB=
2-1
3-4
=-1，因为椭圆右焦点与上顶点的连线平行于AB，所以-
b
c
=-1…（2分）
∴b=c，∴a2=b2+c2=2b2，故椭圆C可化简为x2+2y2=a2…（4分）
又椭圆经过A点，则a2=42+2=18，故椭圆C的方程为
x2
18
+
y2
9
=1…（6分）
（Ⅱ）∵A（4，1），B（3，2），
∴
y-2
1-2
=
x-3
4-3

∴线段AB所在直线方程为y=-x+5（3≤x≤4）…（7分）
由（Ⅰ）知椭圆C为x2+2y2=a2，
联立
x2+2y2=a2
y=-x+5
，消去y并整理得：3x2-20x+50-a2=0…（&）
由于椭圆C与线段AB有公共点，即方程（&）在x∈[3，4]上有解
（&）式可变形为a2=3x2-20x+50，令g（x）=3x2-20x+50，x∈[3，4]
则只需a2在函数g（x）的值域之内，∴g(x)∈[g(
10
3
)，g(4)]=[
50
3
，18]，
故a2∈[
50
3
，18]，a∈[
5
6
3
，3
2
]．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查函数的值域，联立方程，转化为方程在x∈[3，4]上有解是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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