Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，

3

），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=

1

2

，过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：

|AB|2

|MN|

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）椭圆的顶点为（0，

3

），即b=

3

，e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x=my+1 3x2+4y2-12=0

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，再由韦达定理和x₁x₂+y₁y₂=0，得-12m²-5=0这不可能，所以不存在存在直线l，使得以线段MN为直径的圆过原点．
（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），由|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

12(k2+1)

3+4k2

．知

|AB|2

|MN|

=4为定值．

解答：解：（Ⅰ）椭圆的顶点为（0，

3

），即b=

3

，e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）不存在．设l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由

x=my+1 3x2+4y2-12=0

得（3m²+4）y²+6my-9=0所以

y1+y2= -6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

因为x₁x₂+y₁y₂=0?（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=0
即(m2+1)

-9

3m2+4

+m

-6m

3m2+4

+1=0，-12m²-5=0这不可能，所以不存在
（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由（2）可得：|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

12(k2+1)

3+4k2

．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx

消去y，并整理得x²=

12

3+4k2

，
|AB|=

1+k2

|x₃-x₄|=4

3(1+k2)

3+4k2

，∴

|AB|2

|MN|

=4为定值．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．