题目内容

已知数列{a_n}满足： $数学公式$ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明： $数学公式$ ；
（Ⅲ）设 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，证明： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）∵2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=n
令b_n=2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n，∴2ⁿa_n=2a₁+b₁+b₂+…+b_n-1= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，又a₁=1成立∴ $\text{[math]}$ （4分）
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
又当n≥2时，2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹=1+C_n+1¹+C_n+1²+…+C_n+1^n-1+C_n+1ⁿ⁺¹
∴2ⁿ⁺¹＞1+C_n+1¹+2C_n+1²，∴2ⁿ⁺¹＞n²+2n+2，而 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，又a₁=1
故 $\text{[math]}$ （9分）
（Ⅲ） $\text{[math]}$
欲证： $\text{[math]}$ ．，即证 $\text{[math]}$ ，即ln（1+T_n）-T_n＜0．
构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0）， $\text{[math]}$ ，
∴f（x）在[0，+∞）上为减函数，f（x）的最大值为f（0）=0，
∴当x＞0时，f（x）＜0，∴ln（1+T_n）-T_n＜0
故不等式 $\text{[math]}$ ．成立．（14分）
分析：（Ⅰ）2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=n，令b_n=2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n，得2ⁿa_n=2a₁+b₁+b₂+…+b_n-1= $\text{[math]}$ ，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹=1+C_n+1¹+C_n+1²+…+C_n+1^n-1+C_n+1ⁿ⁺¹，所以2ⁿ⁺¹＞n²+2n+2，由此能证明 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ） $\text{[math]}$ ，欲证： $\text{[math]}$ ．，即证 $\text{[math]}$ ，即ln（1+T_n）-T_n＜0．构造函数f（x）=ln（1+x）-x，借助导数能够证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法的合理运用．