Question

【题目】【2016高考江苏卷】已知函数.设.

（1）求方程的根;

（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；

（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。

Answer 1

【答案】（1）①0 ②4（2）1

【解析】

试题分析：（1）①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根②根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，即的最小值，最后根据基本不等式求最值（2）先分析导函数零点情况：唯一零点，再确定原函数单调变化趋势：先减后增，从而结合图像确定唯一零点必在极值点取得，而，因此极值点必等于零，进而求出的值.本题难点在证明，这可利用反证法：若，则可寻找出一个区间，由结合零点存在定理可得函数存在另一零点，与题意矛盾，其中可取；若，同理可得.

试题解析：（1）因为，所以.

①方程，即，亦即，

所以，于是，解得.

②由条件知.

因为对于恒成立，且，

所以对于恒成立.

而，且，

所以，故实数的最大值为4.

（2）因为函数只有1个零点，而，

所以0是函数的唯一零点.

因为，又由知，

所以有唯一解.

令，则，

从而对任意，，所以是上的单调增函数，

于是当，；当时，.

因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.

下证.

若，则，于是，

又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.

若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.

因此，.

于是，故，所以.