Question

在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足

3

sin²A+

3 -1

2

sin2A=cos²A，cosB=

4

5

，b=2

3

．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及因式分解推出A的值，求出B的值，然后解出sinC的值．
（2）利用正弦定理求出a的值，然后求出△ABC的面积．

解答：解：（1）由

3

sin²A+

3 -1

2

sin2A=COS²A，

可得 3 sin2A+( 3 -1)sinA•cosA-cos2A=0， 即( 3 sinA-cosA)(sinA+cosA)=0． 因为sinA+cosA≠0，所以 3 sinA=cosA， 得tanA= 3 3 ，故A= π 6 ．

因为A，B，C为△ABC的内角，且A=

π

6

，cosB=

4

5

，
所以C=

5π

6

-B，sinB=

3

5

，
所以sinC=sin（

5π

6

-B）=

1

2

cosB+

3

2

sinB=

1

2

×

4

5

+

3

2

×

3

5

=

4+3 3

10

．
（2）由（1）知sinA=

1

2

，sinC=

4+3 3

10

，sinB=

3

5

，
又因为b=2

3

，
所以在△ABC中，由正弦定理，得a=

bsinA

sinB

=

5 3

3

．
所以△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×

5

3

3

×2

3

×

4+3 3

10

=

4+3 3

2

．

点评：本题是中档题，考查正弦定理的应用，二倍角公式的应用，三角形面积的求法，考查计算能力．