Question

已知直线l过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当

1

PB

+

1

PA

取最大值时l的方程为

 

．

Answer 1

分析：设直线l的方程：y-1=k（x-2），k＜0，求出点A（

2k-1

k

，0 ），点B（0，-2k+1），

1

PB

+

1

PA

=2

4k2-4k+1 k2+1

，
令t=

4k2-4k+1

k2+1

，有 （4-t）k²-4k+1-t=0，故△≥0，求得t 的最大值为5，求出此时k值，即得直线l的方程．

解答：解：由题意可知直线l的斜率k＜0，由直线的点斜式方程得到直线l的方程：y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1．
令x=0，代入方程得y=-2k+1，令y=0，代入方程得x=

2k-1

k

，
所以直线l与x轴、y轴的交点坐标分别是点A（

2k-1

k

，0 ），点B（0，-2k+1）．
∴PA=

( 2k-1 k -2)2+1

=

k2+1

-k

，PB=

4+4k2

=2

k2+1

 

1

PB

+

1

PA

=

1

2 k2+1

+

-k

k2+1

=

1-2k

2 k2+1

=2

4k2-4k+1 k2+1

．
令t=

4k2-4k+1

k2+1

，有 （4-t）k²-4k+1-t=0，故△=16-4（4-t）（1-t）≥0．
解得 0≤t≤5，故t=5时，

1

PB

+

1

PA

取最大值．
此时，解得 k=-2，直线l的方程y=-2x-2k+1，即2x+y-5=0，
故答案为2x+y-5=0．

点评：本题主要考查用点斜式求直线方程的方法，用判别式法求函数的值域，属于中档题．