题目内容

已知函数f（x）=ax³+ $数学公式$ ，若a＜0时，f′（1）≤m恒成立，则实数m的取值范围是

A.
（-∞，-6]
B.
[-6，+∞）
C.
[2 $数学公式$ ，+∞）
D.
[6，+∞）

B
分析：已知函数的解析式f（x）=ax³+ $\text{[math]}$ ，可得导数f′（x）=3ax²+ $\text{[math]}$ ，f′（1）=3a+ $\text{[math]}$ ，显然3a× $\text{[math]}$ =9，为常数，根据基本不等式a+b≥2 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）．又a的取值为负数，则-a＞0，可得m的取值范围．
解答：∵f（x）=ax³+ $\text{[math]}$
∴f′（x）=3ax²+ $\text{[math]}$
∴f′（1）=3a+ $\text{[math]}$
又∵a＜0∴-3a＞0，- $\text{[math]}$ ＞0
∴-3a- $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$
即-3a- $\text{[math]}$ ≥6（当且仅当-3a=- $\text{[math]}$ 即a=-1时等号成立）
∴3a+ $\text{[math]}$ ≤-6
由题意当a＜0时，f′（1）≤m恒成立
∴m≥-6，所以m的取值范围是[-6，+∞）．
故选B．
点评：本题考查函数的求导，着重点在于考查基本不等式a+b≥2 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的应用，尤其要注意其中的条件a＞0，b＞0，如不是正数，要先转换为正数再处理．

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