Question

在△ABC中，两中线AD与BE相互垂直，则cos（A+B）的最大值为

-

4

5

．

Answer 1

分析：根据中线的性质得出BD=CD=

a

2

，AE=EC=

b

2

，根据E，D为中点，故DE为中位线=

1

2

AB=

c

2

，进而分别利用勾股定理求出各线段之间的关系，得出a，b及c的关系式，用a与b表示出c，然后由余弦定理表示出cosC，将表示出的c代入，并利用基本不等式求出cosC的最小值，进而得到-cosC的最大值，利用诱导公式得到cos（A+B）=-cosC，进而得到cos（A+B）的最大值．

解答：解：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，
∵AD⊥BE，
∴∠BOA=90°，
又D与E分别为BC及AC的中点，
∴BD=CD=

a

2

，AE=EC=

b

2

，
∵E，D为中点，∴DE为中位线，
∴DE=

1

2

AB=

c

2

，
∴①在Rt△BOD中，根据勾股定理得：BO²+DO²=（

a

2

）²，
②在Rt△AOE中，根据勾股定理得：AO²+EO²=（

b

2

）²，
③在Rt△EOD中，根据勾股定理得：DO²+EO²=（

c

2

）²，
④在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO²+AO²=c²，
由①+②=③+④，整理得：5c²=a²+b²，
∴c²=

1

5

（a²+b²），又a²+b²≥2ab，
∴根据余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

4

5

×

a2+b2

2ab

≥

4

5

，当且仅当a=b时取等号，
∴cos（A+B）=-cosC≤-

4

5

，
则cos（A+B）的最大值为-

4

5

．
故答案为：-

4

5

点评：此题考查了中线的定义，中位线定理，勾股定理，余弦定理，诱导公式，三角形的内角和定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．