Question

21.已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁＞1,且6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N₊.

(Ⅰ)求{a_n}的通项公式;

(Ⅱ)设数列{b_n}满足a_n(-1)=1,并记T_n为{b_n}的前n项和,求证:3T_n+1＞log₂(a_n+3),n∈N₊.

Answer 1

(Ⅰ)解：由a₁=S₁=(a₁+1)(a₁+2)，解得a₁=1或a₁=2.由假设a₁=S₁＞1，因此a₁=2.

又由a_n+1=S_n+1=S_n=(a_n+1+1)(a_n+1+2)(a_n+1)(a_n+2)，

得  (a_n+1+a_n)(a_n-1-a_n-3)=0，

即  a_n+3-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，因a_n＞0，故a_n+1=-a_n不成立，舍去

因此a_n+1-a_n=3，从而{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，故{a_n}的通项为a_n=3n-1.

(Ⅱ)证法一：由a(2-1)=1可解得

b_n=log₂(1+)=log₂；

从而T_n=b₁+b₂+…+b_n=log₂(··…·).

因此3T_n+1-log₂(a_n+3)-log₂(··…·)³·.

又  f(n)=(··…·)³·，则

.

因(3n+3)³-(3n+5)(3n+2)²=9n+7＞0，故

f(n+1)＞f(n).

特别地f(n)≥f(1)=＞1，从而3T_n+1-log₂(a_n+3)=log₂f(n)＞0，

即3T_n+1＞log₂(a_n+3).

证法二：同证法一求得b_n及T_n.

由二项式定理知，当c＞0时，不等式(1+c)³＞1+3c成立.

因此不等式有

3T_n+1=log₂2(1+)³(1+)³…(1+)³

＞log₂2(1+)(1+)…(1+)

=log₂2···…·=log₂(3n+2)=log₂(a_n+3).证法三：同证法一求得b_n及T_n.

令A_n=··…·，B_n=··…·，

C_n=··…·.

因，因此A＞A_nB_nC_n=.

从而

3T_n+1=log₂2(··…·)²=log₂2A

＞log₂2A_nB_nC_n=log₂(3n+2)=log₂(a_n+3).

证法四：同证法一求得b_n及T_n.

下面用数学归纳法证明：3T_n+1＞log₂(a_n+3).

当n=1时，3T₁+1=log₂，log₂(a₁+3)=log₂5，

因此3T₁+1＞log₂(a₁+3)，结论成立.

假设结论当n=k时成立，即3T₁+1＞log₂(a₁+3)，

则当n=k+1时，

3T_n+1+1-log₂(a_n+1+3)=3T_n+1+3b_n+1-log₂(a_2n+3)

＞log₂(a_n+3)-log₂(a_n+1+3)+3b_n+1

=log₂

因(3k+3)³-(3k+5)(3k+2)²=9k+7＞0，故log₂＞0.

从而3T_n+1+1＞log2(a_n+1+3). 这就是说，当n=k+1时结论也成立.

综上3T_n+1＞log₂(a_n+3)对任何n∈N，成立.