Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右准线分别为l₁、l₂，且分别交x轴于C、D两点，从l₁上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l₂交于点B，若AF⊥BF，且∠ABD=75°，则椭圆的离心率等于（　　）

• A、

  6 - 2

  4

• B、

  3

  -1
• C、

  6 - 2

  2

• D、

  3 -1

  2

Answer 1

分析：由题设条件能够推导出|AF1|=

2 b2

c

，|BF1|=

6 b2

c

，|DF1| =|DB|=

a2

c

+c，可得2(

a2

c

+c)2=

6b4

c2

，由此能够求出椭圆的离心率．

解答：解：由题意可知|AC|=|CF1|=-c-(-

a2

c

)=

b2

c

，
∴|AF1|=

2 b2

c

，∵AF⊥BF，且∠ABD=75°，∴|BF1|=

6 b2

c

，
∵|DF1|=|DB|=

a2

c

+c，∴2(

a2

c

+c)2=

6b4

c2

，∴（a²+c²）²=3（a²-c²）²，
整理得e⁴-4e²+1=0，解得e2=2-

3

或e2=2+

3

（舍去）
∴e=

6 - 2

2

或e=

2 - 6

2

（舍去）．
故选C．

点评：本题考查椭圆的基本知识及其应用，解题时要注意椭圆的离心率0＜e＜1．