Question

已知椭圆，离心率为的椭圆经过点。

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

 解：（1）设椭圆方程为，则，即，

由此得，故椭圆方程是，

将点的坐标代入，得，解得，

故椭圆方程是。          

（2）问题等价于，即是否是定值问题。

椭圆的焦点坐标是，不妨取焦点（2，0），

（i）当直线AB的斜率存在且不等于零时，

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是，

代入椭圆方程并整理得。

设，则。

根据弦长公式，

         

以代换k，得

所以

即           

（ii）当直线AB的斜率不存在或等于零时，一个是长轴长度，一个是通径长度，此时，即。

综上所述，故存在实数，使得。