题目内容
【题目】过抛物线
的焦点为F且斜率为k的直线l交曲线C于
、
两点，交圆
于M，N两点（A，M两点相邻）．
（1）求证：
为定值；
（2）过A，B两点分别作曲线C的切线
，
，两切线交于点P，求
与
面积之积的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
（1）依题意直线
的方程为
，代入
得
，利用韦达定理即可得证；
（2）利用导数写出抛物线
在点
、
处的切线方程，联立两条切线方程求出点
的坐标，并求出
和
的面积的表达式，结合函数思想可求出两三角形面积之积的最小值．
解：（1）
依题意直线的方程为
，代入得，
，则
，
.
∴
为定值
（2）因为，所以
，
则切线PA方程为
①
PB方程为
②
②—①得
， 
③，
将③代入①得
，所以
P到直线AB的距离
，
，
，
因为
，
，
所以
当且仅当
时，
取最小值1.
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