Question

如图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以AB为端点的曲线C上任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．又知△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|BN|＝6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解析：方法一：建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点． 　　依题意知曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点． 　　设曲线段C的方程为y2＝2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|． 　　所以M(，0)，N(，0)． 　　由|AM|＝，|AN|＝3得 　　(xA＋)2＋2pxA＝17，　① 　　(xA＋)2－2pxA＝9，　② 　　由①②两式联立解得xA＝，再将其代入①式并由p＞0，解得或 　　因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA， 　　故舍去 　　所以p＝4，xA＝1． 　　由点B在曲线段C上，得xB＝|BN|＝4． 　　综上，得曲线段C的方程为y2＝8x(1≤x≤4，y＞0)． 　　方法二：如图，建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F． 　　设A(xA，yA)、B(xB，yB)、N(xN，0) 　　依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3， 　　yA＝|DM|＝． 　　由于△AMN为锐角三角形，故有 　　xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋＝4，xB＝|BF|＝|BN|＝6． 　　设点P(x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合{(x，y)|(x－xN)2＋y2＝x2，xA≤x≤xB，y＞0}． 　　故曲线段C的方程为y2＝8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．