Question

设函数f（x）=a^x+b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=

1，x∈[0，1] f(log2x)-4，x∈(1，+∞)

，求使得g[g（x）]=1成立的整数x的取值的集合．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=2及f（x+1）=2f（x）-1恒成立，可以构造方程组可求出a，b值，进而得到f（x）的解析式；
（2）根据（1）及对数运算性质可得g（x）=

1，x∈[0，1] x-3，x∈(1，+∞)

，由g[g（x）]=1分类讨论，结合x为整数，可得答案．

解答：解：（1）由f（0）=2得1+b=2，
解得b=1
∴f（x）=a^x+1
∵对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1
∴a^x+1+1=2a^x+1
∴a=2
∴f（x）=2^x+1…（4分）
（2）由（1）知f（log₂x）=2log2x+1=x+1，
故g（x）=

1，x∈[0，1] x-3，x∈(1，+∞)

，…（5分）
∵g[g（x）]=1
∴0≤g（x）≤1或g（x）=4
∴0≤x≤1或0≤x-3≤1或x-3=4
∴0≤x≤1或3≤x≤4或x=7，
又∵x为整数，
故所求整数x的取值的集合为{0，1，3，4，7}．…（9分）

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质的综合应用，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键．