Question

已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，

π

2

））的导函数为f′（x），若使得f′（x₀）=f（x₀）立的x₀＜1，则实数α的取值范围为（　　）

• A、（

  π

  4

  ，

  π

  2

  ）
• B、（0，

  π

  3

  ）
• C、（

  π

  6

  ，

  π

  4

  ）
• D、（0，

  π

  4

  ）

Answer 1

分析：由于f′（x）=

1

x

，f′（x₀）=

1

x0

，f′（x₀）=f（x₀），可得

1

x0

=ln x₀+tan α，即tan α=

1

x0

-ln x₀，由0＜x₀＜1，可得

1

x0

-ln x₀＞1，即tan α＞1，即可得出．

解答：解：∵f′（x）=

1

x

，f′（x₀）=

1

x0

，f′（x₀）=f（x₀），
∴

1

x0

=ln x₀+tan α，
∴tan α=

1

x0

-ln x₀，
又∵0＜x₀＜1，
∴可得

1

x0

-ln x₀＞1，即tan α＞1，
∴α∈（

π

4

，

π

2

）．
故选：A．

点评：本题考查了导数的运算法则、对数函数和正切函数的单调性，属于中档题．