Question

3．已知D、E分别为△ABC边AB、AC的中点，F是线段DE上一点，BF交AC于点C，CF交AB于点H，求$\frac{AG}{GC}+\frac{AH}{HB}$的值．

Answer 1

分析 以B为坐标原点，以BC为x轴正方向建立坐标系，设C（2a，0），A（2b，2c），则D（b，c），E（a+b，c），设F点坐标为（t，c），求出G，H点坐标，进而可得$\frac{AG}{GC}+\frac{AH}{HB}$的值．

解答 解：如图所示，以B为坐标原点，以BC为x轴正方向建立坐标系，
设C（2a，0），A（2b，2c），则D（b，c），E（a+b，c），
设F点坐标为（t，c），
则直线BG的方程为：y=$\frac{c}{t}$x，
直线AC的方程为：y=$\frac{c}{b-a}$（x-2a），
联立直线AC与BD的方程可得：$\frac{c}{t}$x=$\frac{c}{b-a}$（x-2a），
解得：x=$\frac{2t}{a+t-b}$，
故$\frac{AG}{GC}$=$\frac{\frac{2at}{a+t-b}-2b}{2a-\frac{2at}{a+t-b}}$=$\frac{at-ab-bt+{b}^{2}}{{a}^{2}-ab}$，
同理可得：$\frac{AH}{HB}$=$\frac{a+b-t}{a}$，
∴$\frac{AG}{GC}+\frac{AH}{HB}$=$\frac{at-ab-bt+{b}^{2}}{{a}^{2}-ab}$+$\frac{a+b-t}{a}$=1

点评 本题考查的知识点是直线的交点坐标，建立坐标系，求出点的坐标，是解答的关键．